Introducción
1.1. Necesidad de los métodos numéricos
1.2. Errores
1.2.1. Fuentes de error
1.2.2. Estimación y acotación de errores
1.3. Algoritmos: estabilidad y eficiencia
1.3.1. Órdenes más comunes
1.4. Problemas
2. Interpolación de funciones
2.1. Introducción
2.2. Interpolación polinómica
2.2.1. El algoritmo de Horner para la evaluación de un polinomio y sus derivadas sucesivas
2.2.2. Existencia y unicidad del polinomio interpolador
2.2.3. Error de interpolación
2.3. Método de Lagrange
2.4. Diferencias divididas. Método de Newton
2.4.1. Conjuntos que difieren en un punto
2.4.2. Diferencias divididas
2.5. Interpolación de Hermite
2.6. Splines
2.7. Problemas
3. Aproximación de funciones
3.1. Introducción
3.2. Formulación del problema
3.3. Diagonalización de Gram-Schmidt
3.4. Aproximación polinomial
3.4.1. Polinomios de Legendre
3.4.2. Polinomios de Chebyshev
3.5. Aproximación racional.
3.6. Aproximación polinomial trigonométrica
3.7. Problemas
4. Integración y diferenciación numérica
4.1. Derivación numérica
4.1.1. Análisis del error e incremento óptimo
4.2. Derivadas de orden superior
4.3. Derivadas parciales de primer y segundo orden
4.4. Elementos de integración numérica
4.4.1. Caso de nodos igualmente espaciados y polinomios
interpolantes de primer y segundo orden
4.4.2. Fórmulas de Newton-Cotes
4.4.3. Integración numérica compuesta
4.5. Integración gausiana
4.6. Extrapolación: Aplicaciones a la derivación y la integración
numérica
4.6.1. Aplicación al cálculo de la derivada
4.6.2. Aplicación al cálculo de integrales: Integración de Romberg
4.7. Problemas
5. Resolución de sistemas lineales: Métodos directos
5.1. Introducción
5.2. Sistemas equivalentes
5.3. Métodos directos
5.3.1. Método de Gauss
5.3.2. Método de Gauss-Jordan
5.3.3. Inconvenientes de los métodos de Gauss y Gauss-Jordan
5.3.4. Problemas mal condicionados
5.3.5. Corrección de errores
5.4. Descomposición LU
5.4.1. La descomposición LU aplicada a matrices especiales
5.5. Sistemas sobredeterminados. Descomposición QR
5.6. Problemas
6. Normas matriciales
6.1. Definiciones y resultados previos
6.2. Normas de matrices
6.3. Aproximación al radio espectral
6.4. Sucesiones matriciales
6.4.1. Sucesión de potencias de una matriz
6.4.2. Series de matrices
6.4.3. Series de potencias
6.5. Error y condicionamiento
6.5.1. Condicionamiento de una matriz
6.6. Sistemas perturbados
6.6.1. Perturbación del término independiente
6.6.2. Perturbación de la matriz del sistema
6.6.3. Perturbación total
6.7. Problemas
7. Resolución de sistemas lineales. Métodos iterativos
7.1. Consideraciones generales y estudio de la convergencia
7.2. Construcción de métodos iterativos
7.3. Los métodos más usuales
7.4. Consideraciones prácticas
7.4.1. Estabilidad
7.4.2. Acotación del error
7.5. Matrices especiales
7.5.1. Matrices estrictamente diagonal-dominantes
7.5.2. Matrices simétricas definidas positivas
7.5.3. Matrices tridiagonales
7.6. Métodos de relajación
7.7. El método del gradiente conjugado
7.7.1. Preacondicionamiento
7.8. Problemas
8. Ecuaciones no lineales
8.1. Introducción
8.2. Métodos iterativos
8.2.1. Método de bisección
8.2.2. El método de la interpolación inversa
8.2.3. Teorema del punto fijo
8.2.4. El método de Newton
8.2.5. Variantes del método de Newton
8.3. Ceros reales de polinomios
8.3.1. Acotación de los ceros de un polinomio
8.3.2. Localización de los ceros reales de un polinomio
8.3.3. Obtención de raíces complejas: método de Muller
8.4 Métodos para sistemas no lineales
8.4.1. Introducción
8.4.2. El método de Newton
8.4.3. Métodos quasi-Newton
8.4.4. Método del descenso más rápido
8.5. Problemas
Bibliografía
Índice alfabético
Este manual está dirigido a todos aquellos estudiantes universitarios que se inician en el estudio de los métodos del cálculo numérico.
El libro cubre bastantes campos de esta disciplina. Si incluyéramos un capítulo sobre el cálculo de valores propios de una matriz cuadrada y otro sobre métodos para la resolución de ecuaciones diferenciales, estarían tratados todos los tópicos que suelen encontrarse en un texto de similares características. Trata conocimientos básicos de errores, estudia la interpolación y la aproximación de funciones junto con la derivación e integración numérica. En el último bloque se analiza la resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante métodos directos y métodos iterativos, introduciendo previamente los conceptos sobre normas matriciales necesarias para estudiar su convergencia. Por último, se realiza un breve repaso a los métodos de resolución de ecuaciones y sistemas no lineales. Cada capítulo contiene una colección de ejercicios adecuados a los contenidos teóricos del mismo.
Muchas de las secciones tienen la misma estructura que el famoso libro de Richard L. Burden y J. Douglas Faire, Numerical Analysis material que se considera imprescindible para el que quiera iniciarse en la materia. Este texto es fruto de varios años de docencia en el grado de Matemáticas, de la profesora Carmen Gandía, del departamento de Matemáticas de la Universidad de Alicante.
